A.1 · A.2 · MOVIMIENTO Y FUERZAS

Caer hasta una velocidad límite.

Suelta un cuerpo desde el reposo. Sigue sus fuerzas y conecta la caída con la velocidad, la aceleración y la fuerza resultante.

LABORATORIO INTERACTIVO

Una caída, tres gráficas

Deducir la velocidad límite ↓
Escalas fijas al cambiar valores

Movimiento y fuerzas

+ hacia abajo ↓
Cuerpo en caída vertical y sus fuerzasEl peso apunta hacia abajo, la resistencia del aire hacia arriba y la resultante hacia abajo. Las tres fuerzas parten del centro del cuerpo.
● Peso● Resistencia● Resultante

Fuerzas con origen y escala comunes. La cámara sigue el cuerpo sin cambiar la escala de distancias. La resultante resume las otras dos.

Modelo elegidoOtro modeloVelocidad límite

Velocidad v(t)

0,00 m/s

Aceleración a(t)

9,81 m/s²

Fuerza resultante Fres(t)

9,81 N

Pulsa o arrastra sobre una gráfica para explorar el mismo instante en las tres. La línea tenue anticipa la evolución.

Distancia caída0,00 m
Velocidad ↓0,00 m/s
Aceleración ↓9,81 m/s²
Fuerza resultante ↓9,81 N

Desde el reposo: la resistencia es nula y solo actúa el peso.

Eje positivo hacia abajo. Partimos del reposo con gravedad constante y resistencia lineal; omitimos el empuje del aire. El recorrido no incluye suelo, para estudiar la aproximación al límite.

DEL DIAGRAMA A LAS GRÁFICAS

¿Por qué deja de aumentar la rapidez?

La ley de Stokes describe la resistencia sobre una esfera pequeña que se mueve lentamente en un fluido viscoso, cuando la inercia del fluido es despreciable. Para deducir su dependencia, consideramos la viscosidad dinámica η, el radio r y la rapidez. Buscamos una expresión con dimensiones de fuerza.

FR=Cηαrβvγ,[η]=ML−1T−1F_{\mathrm R}=C\eta^{\alpha}r^{\beta}\vel^{\gamma},\qquad [\eta]=M L^{-1}T^{-1}

Igualamos los exponentes de masa, longitud y tiempo. Los tres exponentes deben valer uno: la fuerza es proporcional a la viscosidad, al radio y a la rapidez.

MLT−2=MαL−α+β+γT−α−γ  ⟹  α=β=γ=1  ⟹  FR=CηrvM L T^{-2}=M^{\alpha}L^{-\alpha+\beta+\gamma}T^{-\alpha-\gamma}\;\Longrightarrow\;\alpha=\beta=\gamma=1\;\Longrightarrow\;F_{\mathrm R}=C\eta r\vel

El análisis dimensional no determina la constante. Al resolver el flujo viscoso alrededor de una esfera se obtiene el factor 6π. Agrupamos los factores constantes en el coeficiente de resistencia b, que se mide en kg/s. Referencia: ley de Stokes, OpenStax.

FR=6πηrv=bv,b=6πηrF_{\mathrm R}=6\pi\eta r\vel=b\vel,\qquad b=6\pi\eta r

Tomamos como positivo el sentido de la caída. El peso apunta hacia abajo y la resistencia viscosa hacia arriba. La segunda ley de Newton permite deducir la aceleración.

mg⏟peso−bv⏟resistencia=Fres=ma  ⟹  a=g−bmv\underbrace{\peso}_{\text{peso}}-\underbrace{\roz}_{\text{resistencia}}=\fres=m\acc\;\Longrightarrow\;\acc=g-\frac{b}{m}\vel

Al soltar el cuerpo, la rapidez y la resistencia son nulas, por lo que la aceleración inicial es la gravedad. Conforme aumenta la rapidez, también aumenta la resistencia: la fuerza resultante y la aceleración disminuyen.

v(0)=0  ⟹  FR(0)=0  ⟹  a(0)=g\vel(0)=0\;\Longrightarrow\;F_{\mathrm R}(0)=0\;\Longrightarrow\;\acc(0)=g

La velocidad límite corresponde al equilibrio de fuerzas. El cuerpo continúa descendiendo, mientras su aceleración se aproxima a cero. Omitiendo el empuje, como en la simulación, imponemos el equilibrio y despejamos la velocidad límite.

a→0  ⟹  mg−bvL=0  ⟹  vL=mgb=mg6πηr\acc\to0\;\Longrightarrow\;mg-b\vlim=0\;\Longrightarrow\;\vlim=\frac{mg}{b}=\frac{mg}{6\pi\eta r}

PROBLEMA · DOS VELOCIDADES LÍMITE

Primero se estabiliza. Después abre el paracaídas.

Un paracaidista y su equipo tienen una masa total de 80 kg. Se deja caer desde el reposo a 2500 m de altura. Con el paracaídas cerrado, el coeficiente de resistencia lineal es 20 kg/s. Tras estabilizarse prácticamente en su primera velocidad límite, inicia la apertura a los 30 s. El paracaídas tarda 3 s en desplegarse y el coeficiente aumenta gradualmente hasta 110 kg/s. Toma g = 9,81 m/s².

  1. Deduce las velocidades límite antes y después de abrir el paracaídas.
  2. Predice el signo de la aceleración durante la apertura. ¿Cambia de sentido la velocidad?
  3. Explica cómo se recupera el equilibrio de fuerzas con el paracaídas abierto.
SIMULACIÓN DEL PROBLEMA

De una meseta de velocidad a otra

Caída inicial
● Peso● Resistencia● Resultante

El paisaje y la escala de alturas permanecen fijos. Los puntos marcan la posición cada 3 s: al frenar quedan más juntos. Las fuerzas parten de un mismo origen en el paracaidista.

EvoluciónApertura gradual · 3 sEscalas fijas · + hacia abajo

Velocidad v(t)

0,00 m/s

Aceleración a(t)

9,81 m/s²

Fuerza resultante Fres(t)

784,80 N

La apertura se programa después de alcanzar más del 99,9 % de la primera velocidad límite. Puedes abrirlo manualmente cuando ya se haya estabilizado.

Altura2500,0 m
Peso ↓784,80 N
Resistencia ↑0,00 N
Apertura del paracaídas0 %

Primero aumenta la rapidez hasta estabilizarse con el paracaídas cerrado.

Razona lo que ocurre

Usamos el mismo modelo de resistencia lineal, con un coeficiente efectivo b para el conjunto persona y paracaídas. La expresión 6πηr corresponde a una esfera en el régimen de Stokes; en este problema didáctico los valores efectivos de b se dan en el enunciado. Antes de abrir, la resistencia casi equilibra el peso. Aplicamos ese equilibrio a los dos valores del coeficiente para deducir ambas velocidades límite.

mg=bvL  ⟹  vL=mgb,vL,cerrado=80⋅9,8120=39,24  m/svL,abierto=80⋅9,81110≈7,13  m/smg=b\vlim\;\Longrightarrow\;\vlim=\frac{mg}{b},\qquad \begin{aligned}v_{\mathrm{L,cerrado}}&=\frac{80\cdot9{,}81}{20}=39{,}24\;\mathrm{m/s}\\v_{\mathrm{L,abierto}}&=\frac{80\cdot9{,}81}{110}\approx7{,}13\;\mathrm{m/s}\end{aligned}

Durante la apertura crece el coeficiente efectivo de resistencia. La fracción de despliegue que ves en la animación varía suavemente entre cero y uno durante tres segundos y controla el mismo cambio de coeficiente en el cálculo.

b(t)=bcerrado+(babierto−bcerrado)f(t),0≤f(t)≤1b(t)=b_{\mathrm{cerrado}}+\left(b_{\mathrm{abierto}}-b_{\mathrm{cerrado}}\right)f(t),\qquad 0\le f(t)\le1

La velocidad no salta al abrir el paracaídas. Cuando la resistencia supera al peso, la resultante apunta hacia arriba: con el eje positivo hacia abajo, tanto la fuerza resultante como la aceleración son negativas. El paracaidista continúa descendiendo, pero cada vez más despacio.

b(t)v>mg  ⟹  Fres=mg−b(t)v<0  ⟹  a<0,v>0b(t)\vel>mg\;\Longrightarrow\;\fres=mg-b(t)\vel<0\;\Longrightarrow\;\acc<0,\qquad \vel>0

Con el paracaídas ya abierto, la disminución de la rapidez reduce la resistencia hasta que vuelve a equilibrar el peso. La aceleración se aproxima a cero y la velocidad se estabiliza en el nuevo límite de 7,13 m/s. Las velocidades límite son asíntotas: observamos valores muy próximos a ellas.

110v→mg  ⟹  Fres→0,a→0,v→vL,abierto110\vel\to mg\;\Longrightarrow\;\fres\to0,\quad\acc\to0,\quad\vel\to v_{\mathrm{L,abierto}}

Recurso educativo independiente. No está avalado por la Organización del Bachillerato Internacional.