A.2 · NS · CLASE DIRIGIDA

Choques e impulso

De las fuerzas de contacto al balance del sistema

Los mismos carritos conectan fuerza, tiempo, cantidad de movimiento y energía. Sigue el contacto, interpreta sus áreas y compara resultados desde un mismo estado inicial.

Abrir apuntes completos · 7 páginas ↗Descargar PDF
● Fuerza● Velocidad / energía cinética● Energía potencial● Rozamiento / energía elástica o interna

La lectura es continua. Las figuras tienen un estado inicial ilustrativo; al iniciar, cada animación comienza desde el principio. Usa los controles de tiempo para inspeccionarla con teclado o en pausa. Las animaciones fuera de pantalla se detienen.

01 · ANTES, DURANTE Y DESPUÉS

El contacto es una interacción que dura un tiempo

Cuando dos carritos entran en contacto, sus superficies o parachoques se deforman. Cada carrito ejerce una fuerza sobre el otro durante un intervalo finito: la fuerza aumenta y después disminuye hasta desaparecer.

Dos cuerpos, dos fuerzas y aceleraciones que pueden ser distintas
12v₁ = 2,00 m/sv₂ = 2,00 m/sm₁ = 1,0 kg · m₂ = 1 kgDerecha positiva →-200-100,32500,65100,975201,3fuerza de contacto / Ntiempo t / sSobre el carrito 2Sobre el carrito 1
F₂→₁ = -10,47 N · F₁→₂ = 10,47 N · a₁ = -10,47 m/s² · a₂ = 10,47 m/s².
Se muestran las fuerzas horizontales de unos parachoques elásticos idealizados, de rigidez fija; pesos y normales se equilibran. Las fuerzas se aplican en las caras enfrentadas de carritos distintos. Las velocidades comparten escala. Cambiar la masa mantiene los ejes y el instante.

La tercera ley de Newton se cumple en cada instante. Las fuerzas tienen igual módulo y sentidos opuestos, pero no se cancelan en el balance de un carrito: actúan sobre cuerpos diferentes.

F⃗2→1(t)=−F⃗1→2(t)\vec F_{2\to1}(t)=-\vec F_{1\to2}(t)

Si el contacto es la única fuerza horizontal de cada cuerpo, dividimos su propia fuerza por su masa. Por eso una misma pareja de fuerzas puede producir aceleraciones de módulos diferentes.

a⃗1=F⃗2→1m1,a⃗2=F⃗1→2m2\vec a_1=\frac{\vec F_{2\to1}}{m_1},\qquad \vec a_2=\frac{\vec F_{1\to2}}{m_2}

Para comprender un cambio completo de velocidad necesitamos tanto la fuerza como el tiempo durante el que actúa.

02 · CANTIDAD DE MOVIMIENTO E IMPULSO

Una fuerza durante un tiempo cambia la cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento es vectorial. Tiene la dirección y el sentido de la velocidad. En una recta, elegimos un eje y usamos componentes con signo; aquí la derecha es positiva. Una masa de 1 kg con velocidad −2 m/s tiene cantidad de movimiento −2 kg·m/s.

p⃗=mv⃗,px=mvx,[p]=kg m/s\vec p=m\vec v,\qquad p_x=mv_x,\qquad [p]=\mathrm{kg\,m/s}

Para una masa constante y una fuerza resultante constante, la segunda ley relaciona la fuerza con el cambio de velocidad durante el intervalo. Como la cantidad de movimiento es masa por velocidad, podemos escribir:

F⃗res=mΔv⃗Δt=Δp⃗Δt\vec F_{\mathrm{res}}=m\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}=\frac{\Delta\vec p}{\Delta t}

Multiplicamos por el tiempo durante el que actúa la fuerza. El producto es el impulso y coincide con el cambio de cantidad de movimiento:

J⃗=F⃗resΔt=Δp⃗Δt Δt=Δp⃗\vec J=\vec F_{\mathrm{res}}\Delta t=\frac{\Delta\vec p}{\Delta t}\,\Delta t=\Delta\vec p

En una gráfica fuerza–tiempo, este producto es el área de un rectángulo: altura (fuerza, eje vertical) por base (tiempo, eje horizontal). Si la fuerza no es constante, la variable del eje vertical cambia y hay que calcular el área bajo la curva. Esa área sigue representando el impulso y, por tanto, el cambio de cantidad de movimiento.

El pulso triangular del PDF: 0,20 s y 40 N
12v₁ = 1,28 m/sv₂ = 2,72 m/sm₁ = 1,0 kg · m₂ = 1 kgDerecha positiva →Durante el contactoContacto: 0,35–0,55 s0011,250,2522,50,533,750,75451F₁→₂,x / Ntiempo t / sΔt = 0,20 sFmax = 40 N
Durante el contacto: F₁→₂,x = 32,00 N. Área acumulada: J₂ = +2,72 N·s; J₁ = −2,72 N·s. Al final: +4 N·s y −4 N·s.
Primero se aproximan, después interactúan entre 0,35 y 0,55 s y finalmente se separan. La gráfica representa la fuerza del carrito 1 sobre el 2, nula antes y después del contacto. El área sombreada es el impulso sobre el 2; el del carrito 1 tiene signo contrario. La base del triángulo son los 0,20 s de contacto y su altura es la fuerza máxima de 40 N. El triángulo es un perfil idealizado distinto del primer ejemplo.

Aquí la fuerza cambia durante el contacto: el área bajo la curva es un triángulo. La calculamos como base por altura entre dos. Usamos solo los 0,20 s de contacto como base; los tramos anteriores y posteriores tienen fuerza nula y no añaden área. El área algebraica es positiva por encima del eje y negativa por debajo.

J2,x=Δt Fmax⁡2=(0,20 s)(40 N)2=+4 N s=Δp2,xJ_{2,x}=\frac{\Delta t\,F_{\max}}{2}=\frac{(0{,}20\,\mathrm s)(40\,\mathrm N)}{2}=+4\,\mathrm{N\,s}=\Delta p_{2,x}
[J]=N s=kg m/s[J]=\mathrm{N\,s}=\mathrm{kg\,m/s}

Si analizamos un solo cuerpo, el impulso resultante es la suma de los impulsos de todas las fuerzas que actúan sobre él.

03 · DURACIÓN DEL CONTACTO

El mismo impulso con fuerzas distintas

Detenemos la misma pelota de 0,20 kg, que llega con velocidad +10 m/s. En los dos contactos termina en reposo, por lo que el cambio de cantidad de movimiento es idéntico.

Δpx=m(vx,f−vx,i)=0,20(0−10)=−2,0 kg m/s\Delta p_x=m(v_{x,f}-v_{x,i})=0{,}20(0-10)=-2{,}0\,\mathrm{kg\,m/s}
Dos contactos con la misma área y escalas comunes
La misma pelota: 0,20 kg · vi = +10 m/sContacto breve: 0,02 sv = 0,00 m/s · |Fmax| = 200 NContacto prolongado: 0,10 sv = 4,05 m/s · |Fmax| = 40 N00550,0251100,051650,0752200,1|Fres,x| / Ntiempo de contacto t / sBreveProlongado
En ambos: Δpₓ = −2,00 kg·m/s. Las áreas completas valen |Jₓ| = 2,00 N·s; se dibujan módulos de fuerzas negativas.
Las fuerzas resultantes tienen signo negativo. Para comparar sus tamaños se representan sus módulos: áreas completas de 2 N·s. El contacto breve dura 0,02 s y el prolongado, 0,10 s; los dos mantienen las mismas velocidades inicial y final.

Los dos triángulos tienen la misma área. En estos perfiles triangulares, alargar la base cinco veces permite reducir la altura cinco veces: la fuerza máxima pasa de 200 N a 40 N. Acompañar la pelota con las manos permite ese contacto más prolongado. Si la pelota rebota, ya no estaríamos conservando el mismo cambio de cantidad de movimiento.

(0,02 s)(200 N)2=(0,10 s)(40 N)2=2,0 N s=∣Δpx∣\frac{(0{,}02\,\mathrm s)(200\,\mathrm N)}{2}=\frac{(0{,}10\,\mathrm s)(40\,\mathrm N)}{2}=2{,}0\,\mathrm{N\,s}=|\Delta p_x|

Dos áreas que responden a preguntas diferentes

Fuerza frente a tiempoFuerza frente a desplazamiento
Área en N·s: impulso.Área en N·m = J: trabajo.
Relaciona la fuerza con el cambio de cantidad de movimiento.Si se usa la resultante, relaciona su trabajo con el cambio de energía cinética.

Con fuerza constante, ambas áreas son rectángulos: multiplicamos el valor del eje vertical por el intervalo del eje horizontal. Si la fuerza varía, calculamos el área bajo la curva, como el triángulo del pulso o el de la fuerza del muelle. El signo se obtiene según la región esté por encima o por debajo del eje horizontal.

Jx=aˊrea algebraica bajo la curva Fres,x–t=ΔpxJ_x=\text{área algebraica bajo la curva }F_{\mathrm{res},x}\text{–}t=\Delta p_x
W=aˊrea algebraica bajo la curva F∥–rW=\text{área algebraica bajo la curva }F_{\parallel}\text{–}r

El eje horizontal determina qué significa el área. Puedes comparar esta figura con las áreas fuerza–distancia de la clase de trabajo y energía.

04 · ELEGIR EL SISTEMA

¿Por qué se conserva la cantidad de movimiento?

Ahora elegimos como sistema el conjunto de los dos carritos. Las fuerzas que se ejercen mutuamente son internas. El peso y la normal son externos, pero se equilibran verticalmente; suponemos despreciable el impulso externo horizontal durante el choque.

Cada carrito cambia, el conjunto conserva su suma
12v₁ = 2,50 m/sv₂ = 1,50 m/sSistema: carrito 1 + carrito 2m₁ = 1,0 kg · m₂ = 1 kgDerecha positiva →001,1250,152,250,33,3750,454,50,6pₓ / (kg·m/s)tiempo t / sCarrito 1Carrito 2Conjunto
p₁ = 2,50 · p₂ = 1,50 · ptotal = +4,00 kg·m/s. Ec,total = 4,25 J
Se representa un contacto parcialmente inelástico con impulso interno de módulo 3 N·s. La curva de cada carrito cambia con signo; la suma se mantiene en +4 kg·m/s. La deformación se idealiza sin resolver los detalles del material.

Las fuerzas internas son iguales y opuestas durante el mismo intervalo. Por tanto, sus impulsos también lo son. Al sumar los cambios de ambos carritos, esos impulsos internos se anulan en el balance del conjunto.

Δp⃗1=J⃗2→1,Δp⃗2=−J⃗2→1⟹Δp⃗1+Δp⃗2=0⃗\Delta\vec p_1=\vec J_{2\to1},\qquad \Delta\vec p_2=-\vec J_{2\to1}\quad\Longrightarrow\quad \Delta\vec p_1+\Delta\vec p_2=\vec0

En general, el cambio de cantidad de movimiento del sistema depende del impulso externo neto. Esa es la condición que debemos comprobar antes de conservarla.

Δp⃗total=J⃗ext⟹J⃗ext≃0⃗ ⇒ p⃗1i+p⃗2i=p⃗1f+p⃗2f\Delta\vec p_{\mathrm{total}}=\vec J_{\mathrm{ext}}\quad\Longrightarrow\quad \vec J_{\mathrm{ext}}\simeq\vec0\ \Rightarrow\ \vec p_{1i}+\vec p_{2i}=\vec p_{1f}+\vec p_{2f}
m1v1i+m2v2i=m1v1f+m2v2fm_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}

En el ejemplo, dos masas de 1 kg pasan de velocidades +4 y 0 a velocidades +1 y +3 m/s. Los cambios individuales son −3 y +3 kg·m/s, mientras la suma sigue en +4 kg·m/s.

05 · ENERGÍA DURANTE EL CONTACTO

Deformar permite almacenar y transformar energía

Si los parachoques se comportan como un muelle ideal, la compresión almacena energía potencial elástica a costa de la energía cinética de los carritos. Después, el muelle puede devolverla al movimiento.

Un choque elástico no mantiene constante Ec durante la compresión
12v₁ = 2,00 m/sv₂ = 2,00 m/sm₁ = 1,0 kg · m₂ = 1 kgDerecha positiva →Ec (azul) + Ep,el (ámbar) = 8 JAntes8,0 + 0,0Máxima compresión4,0 + 4,0Después8,0 + 0,0Ahora4,0 + 4,0
Ahora: Ec,total = 4,00 J · Ep,el = 4,00 J. En máxima compresión: v₁ = v₂ = +2 m/s.
Dos carritos de 1 kg con un parachoques elástico de masa despreciable. En máxima compresión comparten +2 m/s: el conjunto continúa avanzando, aunque el muelle deja momentáneamente de comprimirse. Todas las barras tienen la misma escala.

La energía cinética total pasa de 8 J a 4 J y vuelve a 8 J. En máxima compresión, los otros 4 J están almacenados en el muelle. Elástico compara el estado anterior con el posterior: no exige que la energía cinética sea constante durante toda la interacción ni que se conserve la de cada carrito.

Ec,total+Ep,el=8 JE_{c,\mathrm{total}}+E_{p,\mathrm{el}}=8\,\mathrm J

En un choque real parte de la energía puede quedar como energía interna, deformación permanente, vibraciones o sonido. Si al separarse hay menos energía cinética total, el choque es inelástico. La energía total sigue conservándose al incluir esas formas y sus transferencias al entorno.

La conservación de la energía total y la conservación de la cantidad de movimiento responden a balances distintos. Para la segunda hay que comprobar, además, el impulso externo.

06 · CLASIFICAR LOS CHOQUES

La misma situación inicial, tres resultados alternativos

En los tres casos, las masas son de 1 kg y las velocidades iniciales son +4 y 0 m/s. Cambiamos las características del contacto. Son alternativas desde el mismo estado inicial, no etapas de un mismo choque.

ptotal,i=+4 kg m/s,Ec,total,i=12(1)(4)2=8 Jp_{\mathrm{total},i}=+4\,\mathrm{kg\,m/s},\qquad E_{c,\mathrm{total},i}=\frac12(1)(4)^2=8\,\mathrm J
Compara los tres contactos sin cambiar el estado inicial
12v₁ = 0,00 m/sv₂ = 4,00 m/sm₁ = 1,0 kg · m₂ = 1 kgDerecha positiva →Ec,total actual8,00 JElástica + interna0,00 JEc,total final8,00 JMisma escala: 0–8 Jptotal = +4 kg·m/s
p₁ = 0,00 · p₂ = 4,00 · ptotal = +4,00 kg·m/s. Ec,total = 8,00 J
Todas las flechas de velocidad comparten escala; un cuerpo en reposo no lleva flecha. «Elástica + interna» agrupa la energía que no está en forma cinética durante el contacto; al final de los choques inelásticos queda como energía interna u otras formas. En el caso perfectamente inelástico, los carritos permanecen unidos.
ResultadoVelocidades finales (m/s)p total (kg·m/s)Ec total (J)
Elástico0; +4+48 → 8
Parcialmente inelástico+1; +3+48 → 5
Perfectamente inelástico+2; +2, unidos+48 → 4

Conservar la cantidad de movimiento no fija por sí solo las velocidades finales: los tres resultados cumplen la misma suma. Para la energía cinética sumamos los cuadrados de las rapideces. En el caso parcial, 12(1)2+12(3)2=5 J\tfrac12(1)^2+\tfrac12(3)^2=5\,\mathrm J.

Si quedan unidos, ambos cuerpos comparten la velocidad final. La calculamos con la cantidad de movimiento del conjunto y después obtenemos su energía cinética.

vf=m1v1i+m2v2im1+m2=42=+2 m/s,Ec,total,f=12(2)(2)2=4 Jv_f=\frac{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}}{m_1+m_2}=\frac4{2}=+2\,\mathrm{m/s},\qquad E_{c,\mathrm{total},f}=\frac12(2)(2)^2=4\,\mathrm J

Inelástico engloba tanto el caso parcial como el perfectamente inelástico. Quedar unidos no significa quedar en reposo ni perder toda la energía cinética.

07 · NIVEL SUPERIOR · DOS DIMENSIONES

Conservar el vector exige conservar sus componentes

En una mesa horizontal, dos masas de 1 kg chocan con impulso externo despreciable. La primera llega con velocidad (4, 0) m/s; la segunda está en reposo. Después se mide una velocidad (2, 2) m/s para la primera. Deducimos la segunda por componentes.

Vista superior y suma vectorial final
+x+y12Suma vectorial final · kg·m/sp₁ = (2, 2)p₂ = (2, −2)ptotal = (4, 0)Ec,total = 8 J antes y despuésComponentes: x → +4; y → 0
v₁ = (2, 2) m/s · v₂ = (2, −2) m/s. Se conservan pₓ, pᵧ y la energía cinética final.
Se representa el contacto como un impulso ideal breve para enlazar los estados anterior y posterior, sin resolver aquí la deformación. Las posiciones evolucionan con sus velocidades; las flechas comparten escala y las líneas discontinuas muestran componentes. El diagrama de suma usa una escala vectorial común.

Eje x: derecha positiva

1(4)+1(0)=1(2)+1v2f,x⟹v2f,x=+2 m/s1(4)+1(0)=1(2)+1v_{2f,x}\quad\Longrightarrow\quad v_{2f,x}=+2\,\mathrm{m/s}

Eje y: arriba positivo

1(0)+1(0)=1(2)+1v2f,y⟹v2f,y=−2 m/s1(0)+1(0)=1(2)+1v_{2f,y}\quad\Longrightarrow\quad v_{2f,y}=-2\,\mathrm{m/s}

Por tanto, la segunda velocidad apunta 45° por debajo del eje +x y tiene rapidez 22 m/s2\sqrt2\,\mathrm{m/s}. Las componentes verticales se compensan en la suma vectorial, mientras las horizontales suman +4.

v⃗2f=(2,−2) m/s,p⃗total,f=(2,2)+(2,−2)=(4,0) kg m/s\vec v_{2f}=(2,-2)\,\mathrm{m/s},\qquad \vec p_{\mathrm{total},f}=(2,2)+(2,-2)=(4,0)\,\mathrm{kg\,m/s}

Comprobamos también la energía para clasificar el choque. En este ejemplo, la energía cinética final coincide con la inicial: el resultado es elástico.

Ec,total,f=12(1)(22+22)+12(1)(22+(−2)2)=8 J=Ec,total,iE_{c,\mathrm{total},f}=\frac12(1)(2^2+2^2)+\frac12(1)\bigl(2^2+(-2)^2\bigr)=8\,\mathrm J=E_{c,\mathrm{total},i}

En dos dimensiones se conservan por separado las componentes de la cantidad de movimiento. Las rapideces no se suman como si fueran vectores.