Trabajo y energía · Clase dirigida

01 · FUERZA Y DESPLAZAMIENTO

El trabajo es un producto escalar

Una fuerza realiza trabajo cuando tiene una componente en la dirección del desplazamiento del cuerpo. Para una fuerza constante, el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento da un número con signo. El ángulo se mide entre ambos vectores.

W=\vec F\cdot\Delta\vec r=F\,\Delta r\cos\theta=F_{\parallel}\Delta r,\qquad \Delta r=|\Delta\vec r|

Así, solo la componente paralela al desplazamiento contribuye al trabajo. La unidad es el julio: $1\,\mathrm J=1\,\mathrm{N\,m}$ . La gráfica siguiente representa el trabajo acumulado al avanzar, con los mismos ejes para todos los ángulos.

Una fuerza analizada y un desplazamiento hacia la derecha

Tiempo físico0,80 sÁngulo θ0 °

Trabajo de la fuerza analizada: 8,00 J. El arrastre mantiene v constante; el trabajo neto es cero.

Un arrastre externo mantiene v = 2 m/s en línea recta. Se representa solo la fuerza cuyo trabajo se estudia; las demás compensan su efecto y el trabajo neto es cero. Las escalas de fuerza y desplazamiento son independientes.

A favor, θ = 0°. La fuerza contribuye positivamente al desplazamiento del carrito: su trabajo es positivo. En contra, θ = 180°. La fuerza contribuye de manera negativa al desplazamiento del carrito: su trabajo es negativo.

Perpendicular, θ = 90°. La fuerza no influye en la contribución a lo largo del desplazamiento representado y su trabajo es nulo. Esto no significa que una fuerza perpendicular no pueda cambiar el movimiento: puede cambiar su dirección, como en el movimiento circular.

\theta=0^\circ:\ W=+F\Delta r;\qquad \theta=180^\circ:\ W=-F\Delta r;\qquad \theta=90^\circ:\ W=0

El trabajo de una fuerza puede ser positivo, negativo o nulo. Para interpretar su signo, compara su dirección con la del desplazamiento.

02 · TRABAJO DEL PESO

Una pelota cae desde una altura h

Soltamos una pelota desde el reposo, sin resistencia del aire y con gravedad uniforme. El peso tiene módulo constante $mg$ y apunta hacia abajo. Distinguimos la altura sobre el nivel cero de la distancia descendida, positiva hacia abajo.

y=h-s,\qquad 0\le s\le h

Descender y acumular trabajo

Tiempo físico0,45 sMasa m1 kgAltura h4 m

W_peso = 10,13 J · E_p = 29,88 J · E_c = 10,13 J

Se usa g = 10 m/s². La gráfica es fuerza frente a distancia descendida, no frente a altura ni frente a tiempo. El rectángulo sombreado crece con s. Al llegar a y = 0 se mantiene el estado justo anterior al impacto; no se simula el choque.

El peso y el desplazamiento tienen el mismo sentido. El área bajo la gráfica fuerza–desplazamiento es un rectángulo de base $s$ y altura $mg$ . Al completar la caída, su base es $h$ . El trabajo del peso no depende de la velocidad inicial.

W_{\mathrm{peso}}=mg\,s\cos0^\circ=mg\,s\quad\Longrightarrow\quad W_{\mathrm{peso},\,i\to f}=mgh>0

Elevar la pelota permite almacenar energía

Al elevarla lentamente, una fuerza externa realiza trabajo contra el peso y aumenta la energía potencial gravitatoria del sistema Tierra–pelota. La energía depende de esa configuración, no de la pelota aislada. Elegimos el cero en el nivel de referencia.

E_p=mgy\quad\Longrightarrow\quad E_{p,i}=mgh,\qquad E_{p,f}=0

Al soltar la pelota, el trabajo positivo del peso acompaña a una disminución de la energía potencial. Esa energía puede transformarse en energía cinética. El cero se elige por conveniencia: en el balance importan las diferencias de energía potencial.

03 · FUERZAS CONSERVATIVAS

El trabajo procede de una disminución de energía potencial

El trabajo de la gravedad entre dos posiciones no depende del camino. Una fuerza conservativa admite una energía potencial cuya disminución coincide con el trabajo que realiza.

W_{\mathrm{cons}}=E_{p,i}-E_{p,f}=-\Delta E_p,\qquad \Delta E_p=E_{p,f}-E_{p,i}

Si el trabajo conservativo es positivo, la energía potencial disminuye. Si es negativo, aumenta. Para el peso, $W_{\mathrm{peso}}=mg(y_i-y_f)$ : bajar da trabajo positivo y subir, negativo. En un recorrido cerrado el trabajo conservativo es cero.

La expresión E_p = mgy supone gravedad uniforme. La relación entre trabajo conservativo y cambio de energía potencial expresa la idea general.

04 · ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

Almacenar energía al deformar un muelle

Otra manera de almacenar energía es comprimir un muelle ideal, de masa despreciable. Llamamos $x\ge0$ a la compresión respecto de su longitud natural. La constante elástica $k$ , medida en N/m, expresa su rigidez. Dentro del intervalo elástico, la fuerza del muelle tiene módulo $kx$ y tiende a recuperar la longitud natural.

x=\ell_0-\ell,\qquad F_{\mathrm{el}}=kx

Comprimir lentamente: fuerza externa y área triangular

Progreso65 %Constante k80 N/mCompresión máxima0,5 m

Área triangular: W_ext = E_p,el = 4,23 J. El trabajo del muelle durante la compresión es negativo.

Modelo cuasiestático: la energía cinética del bloque es despreciable y la fuerza externa equilibra al muelle. La compresión positiva apunta hacia la izquierda. El control indica progreso de compresión, no una ley dinámica de movimiento.

La fuerza externa necesaria no es constante: aumenta desde cero hasta $kx$ . Por eso el trabajo es el área triangular bajo la gráfica fuerza–compresión, y no el producto de la fuerza final por todo el desplazamiento.

W_{\mathrm{ext}}=\frac12\,x\,(kx)=\frac12kx^2\quad\Longrightarrow\quad E_{p,\mathrm{el}}=\frac12kx^2

Con el cero en la longitud natural, el trabajo externo positivo aumenta la energía potencial elástica. Durante esa compresión, la fuerza del muelle apunta contra el desplazamiento y realiza trabajo negativo.

Liberar la energía almacenada

El muelle recupera su longitud natural y el bloque sale

Tiempo físico0,10 sCompresión inicial0,5 m

E_p,el = 3,92 J · E_c = 6,08 J · suma = 10,00 J. Sin rozamiento.

Bloque de 1 kg y muelle de k = 80 N/m. Se libera desde el reposo. Mientras existe compresión, el muelle lo empuja; al recuperar su longitud natural, el bloque se separa y continúa sin rozamiento. La animación se reproduce a cámara lenta, con tiempo físico visible.

La fuerza elástica es conservativa. Si el muelle pasa de una compresión inicial a su longitud natural, realiza trabajo positivo y la energía almacenada se transforma en energía cinética del bloque.

W_{\mathrm{el}}=E_{p,\mathrm{el},i}-E_{p,\mathrm{el},f}=-\Delta E_{p,\mathrm{el}}\quad\Longrightarrow\quad W_{\mathrm{el}}=\frac12kx_i^2

Elevar la pelota y comprimir un muelle siguen la misma secuencia: trabajo externo → energía potencial almacenada → energía cinética al liberar el sistema.

05 · TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA

Del trabajo de la resultante al cambio de rapidez

Consideramos una partícula de masa constante en un sistema de referencia inercial. En un tramo rectilíneo con resultante constante, la segunda ley permite escribir el trabajo neto en términos de la aceleración.

W_{\mathrm{neto}}=F_{\mathrm{res},x}\Delta r_x=ma_x\Delta r_x

La relación cinemática entre las velocidades y el desplazamiento permite sustituir el producto de aceleración y desplazamiento. Los cuadrados de las componentes coinciden con los cuadrados de las rapideces en una recta.

v_{x,f}^{\,2}-v_{x,i}^{\,2}=2a_x\Delta r_x\quad\Longrightarrow\quad W_{\mathrm{neto}}=\frac12m(v_f^2-v_i^2)

Identificamos la energía cinética, asociada al movimiento. El trabajo de la resultante coincide con su cambio.

E_c=\frac12mv^2,\qquad W_{\mathrm{neto}}=\Delta E_c=E_{c,f}-E_{c,i}

La misma velocidad inicial y una resultante con signo

Tiempo físico0,50 sResultante Fₓ2 N

W_neto = 4,50 J = E_c − E_c,i. Cantidad de movimiento: p = 5,00 kg·m/s.

El carrito tiene masa de 1 kg y comienza con v_i = +4 m/s. El intervalo permite frenar sin invertir el sentido. Las barras usan la misma escala en todos los casos.

Un trabajo neto positivo aumenta la energía cinética y la rapidez; uno negativo las reduce. Si es cero, la energía cinética final coincide con la inicial. Los trabajos de todas las fuerzas se suman: una fuerza puede realizar trabajo positivo mientras otra realiza trabajo negativo.

W_{\mathrm{neto}}=\sum_j W_j

Si la fuerza o su dirección varían, se suman trabajos de tramos cada vez más pequeños. El teorema sigue siendo válido para una partícula de masa constante. En el régimen no relativista, también podemos expresar la energía cinética mediante el módulo de la cantidad de movimiento.

p=mv\quad\Longrightarrow\quad E_c=\frac12m\left(\frac{p}{m}\right)^2=\frac{p^2}{2m}

06 · CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

Cuando solo trabajan fuerzas conservativas

Si solo realizan trabajo fuerzas conservativas, el mismo trabajo neto puede expresarse como aumento de energía cinética o como disminución de energía potencial. Igualamos ambos resultados y reagrupamos.

\Delta E_c=-\Delta E_p\quad\Longrightarrow\quad E_{c,i}+E_{p,i}=E_{c,f}+E_{p,f}

E_m=E_c+E_p\quad\Longrightarrow\quad E_{m,i}=E_{m,f}

La energía potencial puede incluir la gravitatoria, la elástica o ambas. En una montaña rusa ideal, la normal es perpendicular al desplazamiento y no realiza trabajo. El peso transforma energía potencial en cinética al bajar; al subir ocurre lo contrario.

Una montaña rusa ideal y tres balances con la misma escala

Tiempo físico1,00 s

Ahora: E_p = 5,20 J · E_c = 34,80 J · E_m = 40,00 J.

Modelo de partícula de 1 kg, con g = 10 m/s²: no hay rotación ni rozamiento; una guía ideal mantiene el contacto. A está a 4 m, B en el nivel cero y C a 2 m. El tamaño del carrito es esquemático; su altura energética es la de la pista.

En A se parte del reposo y toda la energía mecánica es potencial. En B toda es cinética. En C, a media altura inicial, se reparte por igual entre ambas. La barra de energía mecánica conserva su altura.

E_m=mgh,\qquad E_c=mgh-mgy=mg(h-y)

07 · BALANCE CON FUERZAS NO CONSERVATIVAS

Una pista en U: del modelo ideal al rozamiento

Soltamos una bola desde el reposo. La tratamos como una partícula que desliza, sin energía de rotación. La normal no realiza trabajo. En la pista ideal recupera la misma altura al otro lado; con resistencia, el primer ascenso termina a una altura menor.

Dos pistas, el mismo instante y una fuerza anclada a la bola

Tiempo físico1,05 sResistencia constante f1 N

Mismo tiempo en ambas pistas. Altura final ideal: 1,00 m; con resistencia: 0,63 m. E_m + E_interna = 10,00 J.

En ambas pistas m = 1 kg, h = 1 m y g = 10 m/s². En la pista real aproximamos la resistencia mediante una fuerza tangencial de módulo constante f, opuesta a la velocidad. No usamos μmg en la curva. El círculo discontinuo marca el final del primer ascenso; allí se detiene la representación y se oculta la flecha de resistencia al movimiento.

El teorema del trabajo se aplica a la suma de trabajos conservativos y no conservativos. Al sustituir el trabajo conservativo por el cambio de energía potencial, obtenemos un balance de energía mecánica.

\Delta E_c=W_{\mathrm{cons}}+W_{\mathrm{no\ cons}}=-\Delta E_p+W_{\mathrm{no\ cons}}

E_{m,i}+W_{\mathrm{no\ cons}}=E_{m,f}

En el modelo de resistencia constante, el trabajo depende de la distancia recorrida por la pista, no del desplazamiento recto entre los extremos. Es negativo durante todo el movimiento.

W_{\mathrm{roz}}=-fL<0,\qquad mgh-fL=mgh_f\quad\Longrightarrow\quad h_f<h

La energía mecánica no desaparece: se transforma en energía interna de la bola y de la pista. Si el sistema bola–pista–Tierra no intercambia energía con el exterior, incluir esa energía interna conserva la energía total.

\Delta E_{\mathrm{interna}}=-W_{\mathrm{roz}}>0,\qquad \Delta E_m+\Delta E_{\mathrm{interna}}=0

El balance de energía mecánica incluye el trabajo no conservativo. El balance total incluye también la energía transformada en otras formas.

08 · POTENCIA

Cuánta energía se transfiere por segundo

Realizar el mismo trabajo puede requerir tiempos distintos. La potencia media mide el ritmo al que se realiza trabajo o se transfiere energía durante un intervalo.

P_{\mathrm{media}}=\frac{\Delta W}{\Delta t}=\frac{\Delta E_{\mathrm{transferida}}}{\Delta t},\qquad 1\,\mathrm W=1\,\mathrm{J/s}

Elevamos una carga de 2 kg una altura de 5 m, partiendo y terminando en reposo y sin resistencias. Con $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ , el trabajo externo final es el mismo en ambos casos.

\Delta W=mgh=2\cdot10\cdot5=100\,\mathrm J

Igual carga e igual altura, dos tiempos

Tiempo físico2,00 s

Al finalizar: 100 J en ambas elevaciones. Potencias medias: 50 W y 20 W. Se parte y se termina en reposo.

Las elevaciones empiezan y terminan en reposo. Se usa una trayectoria suave con fuerza de elevación F = m(g + a): durante el ascenso el trabajo externo incluye el cambio de energía cinética, que vuelve a cero al finalizar. Los dos relojes avanzan al mismo ritmo.

P_{\mathrm{media},1}=\frac{100}{2}=50\,\mathrm W,\qquad P_{\mathrm{media},2}=\frac{100}{5}=20\,\mathrm W

Para obtener la potencia instantánea de una fuerza, dividimos su trabajo durante un intervalo breve por ese intervalo. El cociente desplazamiento–tiempo tiende a la velocidad.

P\simeq\frac{F\Delta r\cos\theta}{\Delta t}\quad\Longrightarrow\quad P=\vec F\cdot\vec v=Fv\cos\theta

Si fuerza y velocidad son paralelas y del mismo sentido, $P=Fv$ . Si tienen sentidos contrarios, la potencia de esa fuerza es negativa; si son perpendiculares, es cero. Con la fuerza resultante se obtiene la potencia neta, que expresa el ritmo de cambio de la energía cinética.

W en cursiva representa trabajo; W junto a un valor numérico es el símbolo del vatio. En las escenas numéricas de esta clase se usa g = 10 m/s².