D.2 · D.3 · CLASE VIRTUAL
Ciclotrón. Construir cada vuelta.
De una aceleración vertical a una trayectoria que crece: observa cada región y deduce la rapidez, el radio, la sincronización y la relación entre el radio y el número de cruces.
Modelo clásico no relativista · carga positiva · B uniforme perpendicular a v · hueco acelerador estrecho · sin pérdidas de energía.
EXPLORA LA SIMULACIÓN PASO A PASO
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DE LAS LEYES FÍSICAS A LAS EXPRESIONES
Del movimiento a las ecuaciones.
El razonamiento sigue el orden de la simulación. Los símbolos y sus colores mantienen el mismo significado durante toda la lectura.
v · rapidezE, V, ΔV · electricidadB, r · magnetismo y radiom, q, n · masa, carga y cruces
La primera aceleración. El campo eléctrico realiza trabajo al pasar de un potencial alto a uno bajo. Para una carga positiva, ΔV es la caída de potencial entre la entrada y la salida, tomada como magnitud positiva.
Aplicamos el teorema del trabajo y la energía cinética.
Multiplicamos ambos miembros por 2/m para aislar la diferencia de los cuadrados.
Sumamos v₀² a ambos lados.
Tomamos la raíz positiva porque calculamos una rapidez. Si la partícula parte del reposo, sustituimos v₀ = 0.
La primera semicircunferencia. En el arco v es perpendicular a B. La fuerza magnética tiene este módulo y apunta perpendicularmente a la velocidad.
Al no realizar trabajo, B conserva la rapidez. La aceleración apunta al centro de la trayectoria circular.
Aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección radial: la fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta.
Multiplicamos por r₁ y dividimos por |q|v₁B. Como v₁ > 0, podemos cancelar un factor v₁.
El regreso al hueco. El campo magnético no ha hecho trabajo durante la semivuelta. La rapidez de entrada al segundo cruce es v₁.
Invertimos la polaridad: la fuerza vuelve a favorecer el movimiento. El trabajo del segundo cruce es positivo.
Multiplicamos por 2/m y sumamos v₁².
Tomamos la raíz positiva: esta es la rapidez de salida en función de la rapidez de entrada.
Sustituimos el resultado deducido en el primer cruce y sumamos los dos incrementos iguales.
Un segundo radio mayor. La nueva rapidez es v₂. Volvemos a aplicar la segunda ley de Newton en dirección radial.
Despejamos el radio exactamente como en la primera región magnética.
Dividimos este resultado por el radio anterior. Masa, carga y campo son los mismos y se cancelan.
Para v₀ = 0, sustituimos los cuadrados de las rapideces ya deducidas. La razón de sus cuadrados es dos.
Tomamos la raíz positiva y la trasladamos a los radios.
Después de n cruces. Escribimos el balance energético de un cruce cualquiera, del estado i−1 al estado i.
Multiplicamos por 2/m. Obtenemos la misma diferencia de cuadrados para todos los cruces.
Escribimos los primeros balances y el último. Cada velocidad intermedia aparece una vez con signo positivo y otra con signo negativo.
Cancelamos los términos intermedios: la suma es telescópica. Solo quedan el estado final y el inicial.
Sumamos v₀² y tomamos la raíz positiva. n cuenta cruces aceleradores.
Multiplicamos el balance de cuadrados por m/2 para hallar la energía. Sustituimos vₙ en el radio y, desde el reposo, factorizamos √n.
La sincronización. La longitud de una semicircunferencia es πr. Como la rapidez es constante dentro de B, dividimos longitud entre rapidez.
Sustituimos el radio deducido con la fuerza centrípeta.
Cancelamos v entre numerador y denominador. El resultado no depende ni de la rapidez ni del radio.
Una vuelta contiene dos semivueltas. La polaridad debe invertirse cada semivuelta y repetirse tras una vuelta.
La frecuencia es la inversa del período. Se desprecia el tiempo de tránsito por el hueco.
El crecimiento del radio. Partimos de la condición de fuerza centrípeta que dedujimos en cada región magnética.
Sustituimos la rapidez después de n cruces obtenida al sumar los balances de energía.
Elevamos al cuadrado y distribuimos el factor m²/(|q|²B²) sobre los dos sumandos.
Identificamos el primer término como r₀², con r₀ = mv₀/(|q|B), y tomamos la raíz positiva.
Desde el reposo, v₀ = 0 y r₀ = 0. Sacamos √n de la raíz y reconocemos el radio del primer cruce.
Al cuadrar vemos por qué la curva se aplana: r² crece linealmente con n, mientras r crece como su raíz cuadrada.
RELACIONAR LOS RESULTADOS DEDUCIDOS
Del fenómeno al instrumento.
La energía crece en el hueco
Cada cruce añade |q|ΔV. Al sumar los balances se cancelan los estados intermedios: Ec,n = Ec,0 + n|q|ΔV.
El radio crece con la rapidez
La fuerza magnética proporciona la aceleración centrípeta. Desde el reposo, vₙ y rₙ crecen como √n. Dentro de cada arco se conserva la rapidez.
La semivuelta tarda lo mismo
Al sustituir r = mv/(|q|B) en t = πr/v se cancela v. La polaridad se invierte cada T/2 y la tensión completa un ciclo en T.
Tabla de velocidades, energías y radios por cruce
Suposiciones del modelo y lecturas
n cuenta cruces aceleradores, no vueltas. El primer cruce atraviesa toda la diferencia de potencial indicada. El modelo desprecia el campo magnético y el tiempo de tránsito dentro del hueco, y el campo eléctrico dentro de las regiones magnéticas. El hueco se amplía visualmente de forma fija para ver cada cruce; esta ampliación no cambia los radios ni los cálculos. Una pausa visual antes de cada regreso muestra la inversión de polaridad; no representa una detención física del ion.
El movimiento se ralentiza para verlo; el control de recorrido indica avance de la animación, no una escala uniforme de tiempo físico. Cada arco sí es una semicircunferencia con r = mv/(|q|B). En el hueco se usa aceleración eléctrica constante. Al alcanzar rapideces relativistas, la frecuencia clásica deja de mantener la sincronización.
Para profundizar: OpenStax · aplicaciones de las fuerzas magnéticas y CERN Accelerator School · ciclotrones.
COMPARAR LOS RESULTADOS DEDUCIDOS