Energía potencial efectiva y tipos de órbitas

Deducción guiada

Una gráfica que contiene la trayectoria

La energía potencial efectiva transforma un problema bidimensional en una lectura radial: la línea de energía total marca qué distancias son accesibles.

Empezamos por la energía mecánica

Para una masa m que se mueve bajo la gravedad de una masa central M, la energía total suma cinética y potencial gravitatoria.

E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M m}{r}

En vez de usar ejes x e y fijos, elegimos dos direcciones que acompañan al cuerpo: la dirección radial, desde la masa central hacia el cuerpo, y la tangencial, perpendicular a ella.

\vec{v} = v_{r} {\hat{e}}_{r} + v_{t} {\hat{e}}_{t}

v_r = dr/dt indica si cambia la distancia: es positiva al alejarse y negativa al acercarse. v_t = r·dθ/dt indica con qué rapidez barre ángulo alrededor del centro. Como ambas direcciones son perpendiculares, sus módulos se combinan mediante Pitágoras.

v^{2} = v_{r}^{2} + v_{t}^{2}

Lectura física: en una órbita circular, v_r = 0. En una elipse, v_r solo se anula en el periastro y el apoastro; durante el resto del recorrido, la velocidad total tiene ambas componentes.

La gravedad conserva el momento angular

La fuerza gravitatoria es central, de modo que su momento respecto al centro es nulo. Por eso L permanece constante. La componente radial de la velocidad es paralela a r y no aporta momento angular; toda la rotación está contenida en v_t.

L = m r v_{t} = constante

Despejamos v_t = L/(mr).Así, la parte tangencial queda escrita solo con r y constantes.

Cuando el cuerpo se acerca, debe aumentar su velocidad tangencial; cuando se aleja, disminuye.

Sustituimos la velocidad tangencial

La energía cinética tangencial se convierte en un término que depende de 1/r².

E_{m} = \frac{1}{2} m v_{r}^{2} + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} - \frac{G M m}{r}

Ahora la expresión tiene una parte cinética radial y dos términos que dependen únicamente de la posición.

¿Por qué interesa este cambio? El movimiento orbital ocurre en dos dimensiones, pero conservar L permite ocultar la coordenada angular sin perder su efecto. La rotación no desaparece: queda codificada en L²/(2mr²). Así convertimos el problema en uno radial, equivalente a una partícula que se mueve en una sola coordenada r.

Con una sola gráfica podremos saber qué radios son accesibles, dónde cambia de sentido el movimiento radial y si el cuerpo queda ligado o escapa, sin resolver primero toda la trayectoria x(t), y(t).

Definimos la energía potencial efectiva

E_{p, ef} (r) = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} - \frac{G M m}{r}

El término de rotación es positivo y cae como 1/r². El gravitatorio es negativo y cae más lentamente, como −1/r. Su suma forma un pozo con un mínimo.

E_{m} = \frac{1}{2} m v_{r}^{2} + E_{p, ef} (r)

No existe una única curva universal. Cada sistema y, sobre todo, cada valor de momento angular L produce una gráfica de E_p,ef(r) distinta. En el laboratorio final fijamos μ y el momento angular específico h; por eso la curva permanece fija y podemos estudiar limpiamente qué ocurre al cambiar solo E_m.

La separación vertical es energía cinética radial

En la gráfica, la energía mecánica es una línea horizontal. La distancia vertical hasta E_p,ef vale ½mv_r² y nunca puede ser negativa.

\frac{1}{2} m v_{r}^{2} = E_{m} - E_{p, ef} (r) \geq 0

Por tanto, el cuerpo solo puede ocupar regiones donde la línea de E_m está por encima de la curva. En un punto de corte, v_r = 0: la distancia radial cambia de sentido.

Qué significa subir la energía: con L fijo, elevar la línea de E_m aumenta la energía cinética radial disponible a cada distancia. No estamos aumentando directamente la parte tangencial: esa parte sigue determinada por L y por el radio.

Los cortes clasifican la órbita

Mínimo: un único radio, órbita circular. Entre el mínimo y cero: dos radios límite, órbita elíptica.

E = 0: órbita parabólica; el segundo límite está en r → ∞. E > 0: órbita hiperbólica y velocidad residual en el infinito.

Cada caso tiene su propio diagrama: para un mismo L mantenemos la curva de potencial efectivo y dibujamos una línea horizontal de energía diferente. Si además cambiara L, también cambiaría la propia curva.

\begin{matrix} E < 0 & órbita ligada \\ E = 0 & escape justo \\ E > 0 & escape \end{matrix}

Continúa hasta el laboratorio final y mueve tú mismo la línea de energía.

Energía y componentes de la velocidadpaso 1 de 6

La velocidad total se separa en una componente radial y otra tangencial.

Laboratorio final

Mueve la energía.
Cambia la órbita.

La gráfica y la trayectoria comparten el mismo estado. Mantendremos fijo el momento angular específico: al subir ε, la separación vertical respecto a la curva aumenta y representa más energía cinética radial.

Energía potencial efectivados límites radiales

Trayectoria correspondienteelipse con el foco en M

Energía mecánica específica, ε−0,250

Dos puntos de retornoEl radio oscila entre periapsis y apoapsis. Allí v_r = 0 y el punto toca E_p,ef.

ε = \frac{1}{2} v_{r}^{2} + \frac{h^{2}}{2 r^{2}} - \frac{μ}{r}

Para aislar la idea usamos μ = h = 1. Entonces r₀ = 1 y ε_mín = −½. Si cambiásemos h, obtendríamos otra curva de potencial efectivo.

Base conceptual: secciones 2 a 5 del documento Tipos de trayectorias. Energía potencial efectiva.

DOCUMENTO DE REFERENCIA

Tipos de trayectorias · Energía potencial efectiva

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